| A 3.0 |
Das Rechteck ABCD mit AB = 8cm und BC = 10cm
ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS mit der Spitze S. Der Punkt E ist der Mittelpunkt der Seite [AD] und der Punkt F ist der Mittelpunkt der Seite [BC].
Der Fußpunkt P der Pyramidenhöhe liegt auf [EF]. Es gilt:
ES = 7,5cm und
FS = 9cm.
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| A 3.1 |
Zeichnen
Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS. Dabei soll [EF] auf der Schrägbildachse liegen.
Für die Zeichnung gilt: q = 0,5 ; ω = 45°
Berechnen
ε kannst du im Dreieck EFS mit dem Kosinussatz
berechnen. Dann gilt:
cosε = 82 + 92 - 7,52/2 · 8 · 9 ⇒ ε = 51,95°
PS kannst du
im rechtwinkligen Dreieck PFS berechnen:
sin51,95° = PS/9cm
⇔
PS = 9cm · sin51,95°
⇔
PS = 7,09cm
Sie sodann das Maß ε des Winkels SFE sowie die Höhe
PS der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: ε = 51,95° PS = 7,09cm; ]
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4 P |
| A 3.2 |
Die Strecke [KM] mit K ∈ [AB] und M ∈ [DC] verläuft durch den Punkt P und ist parallel
zur Strecke [BC]. Die Strecken [RnTn] sind ebenfalls parallel zur Strecke [BC].
Sie schneiden die Strecke [FS] in den Punkten Gn und es gilt Rn ∈ [BS]
und Tn ∈ [CS]. Die Punkte K, Rn, Tn und
M sind jeweils die Eckpunkte von gleichschenkligen Trapezen KRnTnM.
Die Winkel FPGn haben das Maß φ mit
0° < φ < 90°.
Zeichnen
Sie das Trapez KR1T1M für φ = 20° in das Schrägbild zu 3.1 ein.
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1 P |
| A 3.3 |
Zeigen
Die Länge der Strecken [PG n] kannst du
mit Hilfe des Sinussatz im Dreieck PFGn berechnen. Es gilt:
= PF/sin[180° - (φ + 51,95°)]
Im rechtwinkligen Dreieck PFS gilt:
cos51,95° = PF/9cm
⇔
PF = 9cm · cos51,95°
Setzt man dies in den obigen Term ein, so ergibt sich:
PGn (φ) = 9 · cos51,95° · sin51,95°/sin(φ + 51,95°) cm
PGn (φ) = 4,37/sin(φ + 51,95°) cm
Sie durch Rechnung, dass die Länge der Strecken [PGn] wie folgt in Abhängigkeit
von φ auf zwei Stellen nach den Komma gerundet dargestellt werden kann:
PGn (φ)=
4,37/sin(φ + 51,95°) cm
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2 P |
| A 3.4 |
Von allen Trapezen KRnTnM besitzt das Trapez KR0T0M die kürzeste Höhe PG0 .
Berechnen
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Für den Flächeninhalt der Trapeze gilt:
A = 1/2 · (
KM +
R0T0 ) · PG0
PGn (φ)=
4,37/sin(φ + 51,95°) cm
ist minimal, wenn der Nenner
sin(φ + 51,95°) maximal ist. Da der Sinus maximal 1 sein kann, gilt:
PG0 = 4,37cm
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Um die Länge der Strecke [RoTo] zu berechnen, benötigst du den Vierstreckensatz mit dem Zentrum S:
Um die Länge der Strecke [SG0] berechnen zu können,
musst du zuerst die Länge der Strecke [FG0] ermitteln.
Im rechwinkligen Dreieck PFG0 gilt:
| cos51,95° = |
FG0 |
dabei ist:
PF = 9cm · cos51,95° (vgl. Aufgabe 3.3) |
| PF |
So ergibt sich:
FG0 = 9cm · cos51,95° · cos51,95° ⇒
FG0 = 3,42m
Somit ist
SG0 = (9 - 3,42)cm
⇒
SG0 = 5,58cm
R0T0 |
= |
5,58cm |
⇒ R0T0 =6,20cm |
| 10cm |
9cm |
A = 1/2 · (10 + 6,20) · 4,37cm2
⇔
A = 35,40 cm2
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Sie den Flächeninhalt des Trapezes KR0T0M. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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5 P |
| A 3.5 |
Für die Trapeze KR2T2M und KR3T3M sind die Strecken [PG2] bzw. [PG3]
jeweils 5 cm lang.
Berechnen
5 = 4,37/sin(φ + 51,95°)
φ ∈ ]0° ; 90°[
⇔ 5sin(φ + 51,95°) = 4,37
⇔ sin(φ + 51,95°) = 0,874
⇔ φ + 51,95° = 60,93°
∨ φ + 51,95° = 119,07°
⇔ φ = 8,98° ∨ φ =67,12°
⇒ IL = {8,98° ; 67,12°}
Sie die zugehörigen Winkelmaße j auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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3 P |