| A 3.0 |
Das gleichseitige Dreieck PQR mit der Seitenlänge 9 cm ist die Grundfläche der Pyramide PQRS mit der Spitze S.
Der Punkt F ist der Mittelpunkt der Strecke [QP]. Der Fußpunkt H der Pyramidenhöhe [SH] liegt auf der Geraden FR.
Das Maß des Winkels RFS beträgt 120° und es gilt FS = 10cm.
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| A 3.1 |
Zeichnen
Sie ein Schrägbild der Pyramide PQRS. Dabei soll die Strecke [FR] auf der Schrägbildachse liegen.
Berechnen
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RS kannst du im Dreieck FRS mit Hilfe des Kosinussatzes
berechnen:
RS =
102 + (4,5 3)2 - 2 · 10 · 4,5 3 · cos120° cm
RS = 15,45cm
Das Winkelmaß γ kannst du nun im gleichen Dreieck mit Hilfe des Sinussatzes berechnen:
Für 0° < γ < 60° gilt:
sin γ/10cm = sin 120°/15,45cm
⇔
sin γ = 10 · sin 120°/15,45
⇒ γ = 34,09° (oder γ = 145,91°)
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Sie sodann die Streckenlänge RS und das Maß γ des Winkels SRF. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: RS = 15,45cm; γ = 34,09°].
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4 P |
| A 3.2 |
Punkte Cn auf der Seitenkante [RS] sind Spitzen von Pyramiden PQRCn. Die Winkel FCnR haben das Maß φ.
Zeichnen
Pyramide PQRC 1 für φ = 65° (Winkel FC 1R)
Sie Sie in das Schrägbild zu 3.1 die Pyramide PQRC1 für φ = 65° ein.
Geben Sie das Intervall für φ an, sodass man Pyramiden PQRCn erhält.
Berechnen
untere Intervallgrenze: (C n = S) 180° - (120° + 34,09°) = 25,91°
obere Intervallgrenze: (C n = R) 180° - 34,09° = 145,91°
⇒ Intervall: φ ∈ [25,91° ; 145,91°[
Sie dazu die Intervallgrenzen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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3 P |
| A 3.3 |
Ermitteln
Für das Volumen der Pyramiden PQRC n gilt:
V(φ) = 1/3 · A ΔPQR · h, wobei
sin34,09° = bzw.
h = CnR · sin34,09°
Somit gilt für das Volumen V(φ):
V(φ) = 1/3 ·
92/4 3 cm 2 · CnR · sin34,09°
Die fehlende Länge der Strecke [C nR] kann mit Hilfe
des Sinussatzes im Dreieck FRC n ermittelt werden, dabei ist 4,5 3cm = 7,79cm.
CnR (φ) /sin[180° - (φ + 34,09°)] = 7,79cm/sinφ
= 7,79cm/sinφ
CnR (φ) =
7,79cm ·sin(φ + 34,09)°/sinφ cm
Durch Einsetzen ergibt sich: V(φ) =
51,05 · sin(φ + 34,09)°/sinφ cm 3
Sie rechnerisch das Volumen V(φ) der Pyramiden PQRCn in Abhängigkeit von φ.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: CnR (φ)=
7,79 · sin(φ + 34,09°)/sinφ ].
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4 P |
| A 3.4 |
Das Maß α der Winkel PQCn in den Dreiecken QPCn hängt vom Maß φ der Winkel FCnR ab.
Berechnen
Durch den Sinussatz im Dreieck FRC n ergibt sich:
= 4,5/sinφ 3
FCn (φ) =
4,37cm/sinφ
Da die Dreiecke QPC n gleichschenklig sind,
sind die Dreiecke QFC n rechtwinklig. Es gilt also:
tanα =
tanα = 4,37cm/4,5cm · sinφ
tanα = 0,97/sinφ
Sie die Länge der Strecken [FCn] in Abhängigkeit von φ und zeigen Sie, dass gilt:
tanα = 0,97/sinφ
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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2 P |
| A 3.5 |
Unter den Pyramiden PQRCn gibt es zwei Pyramiden PQRC2 und PQRC3, bei denen die Maße der Winkel QC2P und QC3P jeweils 90° betragen.
Ermitteln
Da die Dreiecke QPC n gleichschenklig sind, werden sie mit der Bedingung, dass die Maße der Winkel QC 2P und QC 3P jeweils 90° betragen,
zu gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecken. Dann ist aber α = 45°.
Somit wird aus : tanα = 0,97/sinφ
tan45° = 0,97/sinφ
⇔ sinφ = 0,97
⇔ φ = 75,93° ∨ φ = 104,07°
Da φ ∈ [25,91° ; 145,91°[, ergibt sich
IL = {75,93° ; 104,07°}
Sie rechnerisch das jeweils zugehörige Winkelmaß φ auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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2 P |