| A 1.0 |
Ein Kondensator (Speicher für elektrische Energie) wird
an einer Elektrizitätsquelle für Gleichspannung aufgeladen.
Die Kondensatorspannung y V (Volt) wird in Abhängigkeit von der
Zeit x s (Sekunden) für x ≥ 0
durch die Funktion f1 mit der Gleichung
y = 7 - 7 · 2,72 - 0,5x mit G = IR x IR beschrieben.
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| A 1.1 |
Tabellarisieren
f1 mit y = 7 - 7·2,72 - 0,5x
| x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| y |
0 |
2,76 |
4,43 |
5,44 |
6,05 |
6,43 |
6,65 |
Sie die Funktion f1 für x ∈[0; 6] in Schritten von Δx = 1 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet und zeichnen Sie
sodann den Graphen zu f1 in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; -1 < x < 11 ; -5 < y < 9
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2 P |
| A 1.2 |
Die maximale Spannung am Kondensator nennt man
Sättigungsspannung. Diese beträgt bei diesem Kondensator 7 V.
Berechnen
f 1 mit y = 7 - 7 · 2,72 - 0,5x
Setze x = 2,60 in die Funktionsgleichung ein:
y = 7 - 7 · 2,72 - 0,5 · 2,60 ⇔ y = 5,09 ⇒ IL ={5,09}
5,09/7 · 100% = 72,71%
Die Kondensatorspannung beträgt 72,71% der Sättigungsspannung.
Sie auf wie viel Prozent der Sättigungsspannung die Kondensatorspannung nach 2,60 s angestiegen ist.
(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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2 P |
| A 1.3 |
Berechnen
84%/100% · 7 V = 5,88 V
Damit folgt:
5,88 = 7 - 7 · 2,72 - 0,5x ; | - 7
⇔ - 1,12 = - 7 · 2,72 - 0,5x ; | :(- 7)
⇔ 0,16 = 2,72 - 0,5x ;
⇔ log 2,72 0,16 = -0,5x
⇔ x = -2 · log 2,72 0,16
⇔ x = 3,66; ⇒ IL = {3,66}
Die Zeit beträgt 3,66s.
Sie die Zeit, nach der die Kondensatorspannung auf 84% der Sättigungsspannung angestiegen ist. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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3 P |
| A 1.4 |
Eine Sekunde nach dem Beginn der Aufladung des in 1.0
beschriebenen Kondensators wird ein zweiter Kondensator entladen.
Der Zusammenhang zwischen der Zeit x s und der Spannung y V an diesem
Kondensator wird durch die Funktion f2 mit der Gleichung
y = 8,5 · 2,72 - 0,5(x - 1) mit G = IRxIR für x ≥ 1 beschrieben.
Dabei steht x s für die Zeit ab dem Beginn der Aufladung des ersten Kondensators.
Tabellarisieren
f2 mit y = 8,5 · 2,72 - 0,5(x - 1)
| x |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| y |
8,5 |
5,15 |
3,13 |
1,89 |
1,15 |
0,70 |
Sie für x ∈ [1; 6] in Schritten von Δx = 1 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet und zeichnen Sie den Graphen zu f2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein..
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2 P |
| A 1.5 |
Bestimmen
Nach einer Zeit von ca. 1,3 s oder ca. 3,9 s unterscheiden sich die Spannungen der beiden Kondensatoren um 4,0 V.
(Bewege  ... und beobachte die Spannungsdifferenz Δy!.)
Sie aus der Zeichnung auf Zehntel Sekunden genau, nach welchen Zeiten sich die Spannungen an beiden Kondensatoren um 4,0 V voneinander unterscheiden.
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2 P |
| A 1.6 |
Berechnen
Setze beide Funktionsterme gleich.
⇒ 7 - 7 · 2,72 - 0,5x =
8,5 · 2,72 - 0,5(x - 1)
⇔ 7 = 8,5 · 2,72 - 0,5(x - 1) + 7 · 2,72 - 0,5x
⇔ 7 = 8,5 · 2,72 - 0,5x · 2,72 0,5 + 7 · 2,72 - 0,5x
⇔ 7 = (8,5 · 2,72 0,5 + 7) · 2,72 - 0,5x
⇔ 7 = 21,02 · 2,72 - 0,5x
⇔ 0,33 = 2,72 - 0,5x
⇔ log 2,72 0,33 = -0,5x
⇔ x = -2 · log 2,72 0,33
⇔ x = 2,20; ⇒ IL = {2,20}
Nach 2,20 s liegt an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung an.
Sie auf Hundertstel Sekunden gerundet die Zeit x s, nach der an beiden Kondensatoren die gleiche Spannung anliegt.
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4 P |