| A 3.0 |
Das Drachenviereck ABCD mit AC als Symmetrieachse und M als Diagonalenschnittpunkt ist die Grundfläche der Pyramide ABCDS. Die Spitze S liegt senkrecht über dem Punkt A und es gilt:
AC = 11cm,
BD = 6cm,
AM = 4cm und AS = 8,5cm.
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| A 3.1 |
Zeichnen Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 0,5 ; ω = 45°
Berechnen
Im Dreieck AMS gilt:
tanε = AS/AM
⇒
tanε = 8,5cm/4cm
⇔
ε = 64,80°
Im Dreieck AMS kannst du mit
dem Satz des Pythagoras die
Länge der Strecke [MS] ermitteln.
MS2 =
AM2 +
AS2
⇒
MS =
42 + 8,52 cm
⇔
MS = 9,39cm
Sie sodann das Maß ε des Winkels SMA und die Länge der
Strecke [MS] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: ε = 64,80° ; MS = 9,39cm ]
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4 P |
| A 3.2 |
Der Punkt N ∈ [MS] ist der Mittelpunkt der Strecke [EF] mit
E ∈ [BS] und F ∈ [DS]. Dabei gilt: [EF] || [BD] und SN = 5cm.
Zeichnen Sie Strecke [EF] in das Schrägbild zu 3.1 ein und
berechnen
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Zur Berechnung der
Länge der Strecke
[EF]
verwendest du den
Vierstreckensatz mit dem Zentrum S:
EF/BD =
SN/SM
EF =
5cm/9,39cm · 6cm
EF = 3,19cm
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Sie die Länge der Strecke [EF] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: EF = 3,19cm ]
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2 P |
| A 3.3 |
Die Punkte Pn ∈ [AS] mit SPn = x cm bilden zusammen mit den Punkte E und F Dreiecke EFPn. Die Winkel SNPn besitzen das Maß φ. Zeichnen Sie as Dreieck EFP1 mit x = 2,5 in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen
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Das Ziel ist es, das Winkelmaß φ im Dreieck P1NS zu berechnen.
Dazu kannst du zuerst im Dreieck AMS über die Winkelsumme
∡ASM berechnen.
∡ASM
= 90° - 64,80°
∡ASM = 25,20°
Bevor du aber das Maß φ mit dem Sinussatz berechnen kannst, musst du die Länge der Strecke
[NP1] im Dreieck P1NS
mit dem Kosinussatz berechnen.
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NP1 2 =
SP1 2 +
SN 2 -
2 · SP1 · SN · cos25,20°
NP1 =
2,52 + 52 - 2 · 2,5 · 5 · cos25,20° cm
NP1 = 2,94cm
Und nun der Sinussatz im gleichen Dreieck:
sinφ = sin25,20°/2,94cm · 2,5cm ⇒ φ = 21,23°
Eine zweite Lösung (φ = 156,77°) ist wegen der Winkelsumme nicht möglich.
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Sie sodann das Maß φ des Winkels SNP1. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
[Teilergebnis: NP1 = 2,94cm ]
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3 P |
| A 3.4 |
Unter den Dreiecken EFPn hat das Dreieck EFPo den kleinsten Flächeninhalt.
Zeichnen Sie das Dreieck EFPo in das Schrägbild zu 3.1 ein und
berechnen
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Da alle Dreiecke EFPn die gleiche Grundlinie [EF] besitzen, ist der Flächeninhalt
des Dreiecks dann minimal, wenn die Höhe [P0N] minimal ist.
Diese ist dann am kleinsten, wenn [P0N]
senkrecht auf [AS] steht.
Dann kann die Länge der Strecke [P0N]
im rechtwinkligen Dreieck P0NS mit dem Sinus berechnet werden. Es gilt:
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NP0 = 5cm · sin25,20° ⇒
NP0 = 2,13cm
Damit ist:
Amin = 1/2 ·
EF ·
NP0
Amin = 1/2 · 3,19cm · 2,13cm
Amin = 3,40cm2
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Sie sodann den Flächeninhalt Amin.(Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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3 P |
| A 3.5 |
Der Punkt N ist die Spitze der Pyramide ABDN.
Zeichnen Sie die Pyramide ABDN in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Berechnen
Für das Volumen der Pyramide ABDN gilt:
VABDN = 1/3 ·
1/2 ·
BD ·
AM · hABDN
dabei gilt für hABDN:
sin64,80° = hABDN/MN
hABDN = 4,39cm · sin 64,80° ⇒
hABDN = 3,97cm
VABDN = 1/3 ·
1/2 · 6 · 4 · 3,97cm 3
⇒
VABDN = 15,88cm3
V ABCDS = 1/3 ·
1/2 ·
AC ·
BD ·
AS
V ABCDS = 1/3 ·
1/2 · 11 · 6 · 8,5cm 3
⇒
VABCDS = 93,50cm3
15,88cm3/93,50cm3 · 100% = 16,98%
Sie anschließend den prozentualen Anteil des Volumens der Pyramide ABDN am Volumen der Pyramide ABCDS. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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4 P |