| A 2.0 |
Nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines Grundstücks.
Die Grundstücksfläche hat die Form eines Vierecks ABCD.
Sie wird an den Seiten [AB], [BC] und [AD] von
Straßen begrenzt.
Es gelten folgende Maße:
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AB = 26,00m;
BC = 12,00m;
AD = 20,00m;
∡BAD = 65,00° ;
∡CBA = 85,00°.
Hinweis für Berechnungen:
Runden Sie jeweils auf zwei Stellen nach dem Komma;
Winkelmaße in °, Längen in m und
Flächeninhalte in m2.
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| A 2.1 |
Zeichnen
Sie das Viereck ABCD im Maßstab 1 : 200.
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2 P |
| A 2.2 |
Berechnen
Die Länge der Strecke [AC] kannst du im Dreieck ABC mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
AC2 =
AB2 +
BC2 -
2 · AB · BC · cos85,00°
AC =
26,002 + 12,002 - 2 · 26,00 · 12,00 · cos85,00° m
AC = 27,67m
Das Maß des Winkels
∡BAC
kannst du im gleichen Dreieck mit dem
Sinussatz berechnen. Es gilt:
| sin∡BAC |
= |
sin85,00° |
| BC |
AC |
sin ∡BAC = sin85,00°/27,67m · 12,00m
⇒
∡BAC= 25,60°
Sie die Länge der Grundstücksdiagonalen [AC] und das Maß des Winkels BAC.
[Teilergebnis: AC = 27,67m; ∡BAC = 25,60° ]
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2 P |
| A 2.3 |
Berechnen
Die Länge der Strecke [CD]
kannst du mit dem Kosinussatz im Dreieck
ACD berechnen. Es gilt:
CD2 =
AC2 +
AD2 -
2 · AC · AD · cos39,40°
CD =
27,672 + 20,002 - 2 · 27,67 · 20,00 · cos39,40° m
CD = 17,62m
Im Viereck ABCD gilt:
∡DCB
= 360° - 65,00° - 85.00° -
∡ADC
Das Maß des Winkels
∡ADC kannst du
im Dreieck ACD mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
| cos∡ADC = | AD2 + CD2 - AC2 | | 2 · AD · CD | cos ∡ADC = 20,002 + 17,622 - 27,672/2 · 20,00 · 17,62
∡ADC = 94,49°
und somit ist
∡DCB = 115,51°
Sie die Länge der Grundstücksseite [CD] und das Maß des Winkels DCB.
[Teilergebnis: CD = 17,62m ; ∡DCB = 115,51°]
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3 P |
| A 2.4 |
Zur Verbesserung des Verkehrsflusses plant die Gemeinde den Straßenverlauf an der Grundstücksecke A abzurunden. Die neue Grundstücksgrenze
wird durch einen Kreisbogen mit dem Mittelpunkt M markiert. Der Kreisbogen berührt die Seiten [AB] im Punkt Q und [AD] im Punkt P jeweils 11,60 m
von A entfernt.
Zeichnen
Sie den Kreisbogen PQ in die Zeichnung zu 2.1 ein.
Berechnen
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Agesucht = AAQMP - ASektor
AAQMP = 2 · AΔAMP
AAQMP = 2 · 1/2 · AP · MP
Die Länge der Strecke [MP]
kannst du im Dreieck
AMP mit dem Tangens berechnen.
Dabei
ist zu beachten, dass AM die Winkelhalbierende des
Winkels BAD ist.
Es gilt:
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tan32,50° = MP/AP ⇒
MP = 11,60m · tan32,5° ⇒
MP = 7,39m
AAQMP = 2 · 1/2 · 11,60m · 7,39 m = 85,72m2
Der Winkel PMQ des Sektors
kann über die Winkelsumme im Viereck AQMP
bestimmt werden.
Es gilt:
∡PMQ
= 360° - 90° - 90° - 65° = 115°
ASektor = MP2 · π · 115°/360°
ASektor = (7,39m)2 · π · 115°/360° = 54,80m2
Agesucht =
85,72m2 - 54,80m2 =
30,92m2
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Sie anschließend den Flächeninhalt der abzutretenden Fläche, die durch die Strecken
[AP], [AQ] und den Kreisbogen PQ begrenzt wird.
[Teilergebnis: MP = 7,39m ]
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4 P |
| A 2.5 |
Als Ersatz für die abzutretende Fläche bietet die
Gemeinde dem Grundstückseigentümer ein dreieckiges
Grundstück CHD als Ausgleichsfläche an. Dieses grenzt an
die Grundstücksseite [CD]. Der Punkt H ist der Schnittpunkt
der Verlängerung der Grundstücksseite [BC] mit der Parallelen
zur Grundstücksseite [AB] durch die Grundstücksecke D.
Berechnen
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Der gesuchte Flächeninhalt kann z. B.
mit der folgenden Formel
AAusgleichsfläche =
1/2 · CD · DH · sin20,51°
bestimmt werden.
Das Winkelmaß 20,51° ergibt sich durch die
Winkelsumme im Dreieck DCH.
Die Länge der Strecke [DH] kann im Dreieck DCH
mit Hilfe des Sinussatzes berechnet werden.
Es gilt:
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DH/sin64,49° = CD/sin95,00°
DH =
17,62m/sin95,00° · sin64,49° ⇒
DH = 15,96m
AAusgleichsfläche = 0,5 · 17,62m . 15,96m · sin 20,51°
AAusgleichsfläche = 49,26m2
Damit ist die Ausgleichsfläche um 18,34m2 größer als
die abgetretene Fläche (
Aufgabe 2.4 Aabgetreten =
30,92m2).
18,34m2/30,92m2 · 100% = 59,31%
Die Zunahme beträgt damit 59,31%.
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Sie den Flächeninhalt der Ausgleichsfläche CHD und bestimmen Sie
um wie viel Prozent die Ausgleichsfläche größer ist als
die abgetretene Fläche.
[Teilergebnis: DH = 19,96m ]
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3 P |