| A 2.0 |
Ein Landschaftsarchitekturbüro erhält den Auftrag ein viereckiges Grundstück ABCD zu gestalten.
Es gelten folgende Maße:
AB = 100,0m,
AD = 80,0m,
CD = 120,0m,∡BAD = 70,0°,∡ADC = 120,0°
Hinweis für Berechnungen:
Runden Sie jeweils auf eine Stelle nach dem Komma: Winkelmaße in °, Längen in m, Flächeninhalte in m2 und Volumina in m3.
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| A 2.1 |
Zeichnen
Ein geeigneter Maßstab wäre z. B. 1 : 1000. Damit entsprechen 100m in der Zeichnung 10cm usw.
Sie das Viereck ABCD in einem geeigneten Maßstab. Geben Sie den gewählten Maßstab an.
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2 P |
| A 2.2 |
Auf dem Grundstück soll ein künstlicher See angelegt werden. Der See wird von den Seiten [DF], [AD], [AE] und
dem Bogen EF begrenzt. Dieser Bogen EF ist
Teil eines Kreises mit Mittelpunkt D, der die Seite [AB]
im Punkt E mit AE = 50,0m, EF
und die Seite [CD] im Punkt F schneidet.
Zeichnen Sie den Bogen EF in die Zeichnung zu 2.1 ein und
berechnen
Die Länge der Strecke [DE] kannst du im DAED mit Hilfe des Kosinussatzes berechnen:
DE2 =
AE2 +
AD2 -
2 · AE · AD · cos70°
DE =
50,02 + 80,02 - 2 · 50,0 · 80,0 · cos70° m
DE = 78,5m
Sie die Länge der Strecke [DE].
[Teilergebnis: DE = 78,5m ]
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2 P |
| A 2.3 |
Zur Abschätzung der Kosten für eine geplante Einfassung des Sees muss sein Umfang bestimmt werden.
Berechnen
Für den Umfang u des Sees gilt:
u See =
AE + b +
DF +
AD mit b = EF
Bis auf die Bogenlänge b sind bereits alle Streckenlängen bekannt.
| b = 2 · DE · π · |
∡EDF |
, wobei ∡EDF = 120° - ∡ADE |
| 360° |
Im Dreieck AED kann ich ∡ADE berechnen:
sin ∡ADE = sin70°/78,5m · 50,0m
∡ADE = 36,8°
oder ( ∡ADE = 143,2°)
Damit ist : ∡EDF = 120° - 36,8° = 83,2°
b = 2 · 78,5m · π · 83,2°/360°
b = 114,0m
u = 50,0m + 114,0m + 78,5m + 80,0m = 322,5m
Sie den Umfang u der Seefläche.
[Teilergebnis: ∡EDF = 83,2° ]
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3 P |
| A 2.4 |
Für Veranstaltungen ist im See eine kreisförmige Bühne vorgesehen, die ein Zwölftel der Seefläche bedeckt.
Berechnen
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Um den Radius r der Bühne zu berechnen, benötigst du zuerst den Flächeninhalt ASee des Sees.
ASee = AAED + AKreissektor EFD
AΔAED = 1/2 · AE · AD · sin70°
AKreissektor EFD = DE2 · π · 83,2°/360°
AKreissektor EFD = 4474,1m2
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Asee = 1879,4m2 + 4474,1m2 = 6353,5m2
Für den Flächeninhalt der Bühne gilt:
ABühne = 1/12 · ASee
⇒ ABühne = 529,5m2
ABühne = r2 · π ⇒ r =
m
⇔ r = 13,0m
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Sie den Radius der Bühnenfläche.
[Teilergebnis: ASee = 6353,5m2]
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3 P |
| A 2.5 |
Auf der nicht für den See verplanten Grundstücksfläche soll Rasen angesät werden.
Ermitteln
ARasenfläche = AABCD -
ASee mit AABCD = AΔACD + AΔABC
A ΔACD = 1/2 · AD · DC · sin120°
AΔACD = 1/2 · 80,0m · 120,0m · sin120°
AΔACD = 4156,92m2
A ΔABC = 1/2 · AB · AC · sin ∡BAC
Um A ΔABC berechnen zu können, fehlt
∡BAC
Dies geht in zwei Schritten:
1. Kosinussatz im Dreieck ACD:
AC2 =
AD2 +
CD2 -
2 · AD · CD · cos120°
AC =
80,02 + 120,02 - 2 · 80,0 · 120,0 · cos120° m
AC = 174,4m
2. Sinussatz im Dreieck ACD:
sin ∡CAD = sin120°/174,4m · 120,0m
⇒ ∡CAD = 36,6°
∡BAC =
70,0° - 36,6° = 33,4°
AΔABC = 1/2 · 100,0m · 174,4m · sin33,4° = 4800,19m2.
Somit ist:
ARasenfläche =
4156,92m2 + 4800,19m2 -
6353,5m2 =
2603,6m2
Berechnung des prozentualen Anteils:
2603,6/8957,1 · 100% = 29,1%
Sie rechnerisch den prozentualen Anteil der Rasenfläche an der gesamten Grundstücksfläche.
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5 P |