| A 3.0 |
Das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis [BC] ist die Grundfläche der Pyramide ABCS. D ist der Mittelpunkt der Basis [BC]. Die Spitze S liegt senkrecht
über dem Punkt E ∈ [AD].
Es gilt: BC = 12cm , AD = 9cm , DE = 3cm und ES = 10cm.
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| A 3.1 |
Zeichnen
Sie ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei [AD] auf der Schrägbildachse liegen soll.
Für die Zeichnung gilt: q = 0,5 ; ω = 60°
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2 P |
| A 3.2 |
Berechnen
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Im Dreieck EDS gilt:
tanδ = ES/ED
tanδ = 10cm/3cm
δ = 73,30°
Im Dreieck EDS kannst du mit
dem Satz des Pythagoras die
Länge der Strecke [DS] ermitteln.
DS2 = ES2 + ED2
DS = 102 + 32 cm
DS = 10,44cm
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Sie sodann das Maß δ des Winkels SDA und die Länge der Strecke [DS] auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
[Teilergebnis: δ = 73,30° ; DS = 10,44cm]
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2 P |
| A 3.3 |
Pn ∈ [BS] und Qn ∈ [CS] sind zusammen mit B und C Eckpunkte von Trapezen BCQnPn mit [PnQn] || [BC].
Die Punkte Rn ∈ [DS] sind die Mittelpunkte der Strecken [PnQn]. Es gilt:
DRn = xcm (0 < x < 10,44 ; x ∈ IR).
Zeichnen Sie das Trapez BCQ1P1 mit x = 5 in das Schrägbild zu 3.1 ein und
berechnen
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Du kannst das Maß φ im Dreieck ADR1 nicht direkt mit dem Sinussatz berechnen. Dazu
fehlt noch die Länge der Seite [AR1].
Diese Seitenlänge kannst Du aber im gleichen Dreieck
mit Hilfe des Kosinussatzes berechnen:
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AR1 =
52 + 92 - 2 · 5 · 9 · cos73,30° cm ⇒
AR1 = 8,95cm
Und nun der Sinussatz:
sin φ/5cm = sin73,30°/8,95cm ⇔
sin φ = sin73,30°/8,95 · 5cm
⇔ φ = 32,35° (oder φ = 147,65°)
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Sie sodann das Maß φ des Winkels DAR1. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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3 P |
| A 3.4 |
Zeigen
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Den Flächeninhalt der Trapeze BCQnPn erhältst du mit der Formel:
A(x) = · DRn
Du kennst bereits die Längen:
BC = 12cm und
DRn = xcm
Fehlt also nur noch die Länge der Strecke
[PnQn].
Diese kannst du mit Hilfe des Vierstreckensatzes ermitteln.
Es gilt:
= (10,44 - x)cm/10,44cm
PnQn =
(10,44 - x)cm/10,44xm · 12cm
PnQn = (12 - 1,15x)cm
Für den Flächeninhalt A(x) gilt damit:
A(x) = 12 + 12 - 1,15x/2 · xcm2
A(x) = 0,5 · (24 - 1,15x) · xcm2
A(x) = ( - 0,58x2 + 12x)cm2
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Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A(x) der Trapeze BCQnPn in Abhängigkeit von x gilt:
A(x) = ( - 0,58x2 + 12x) cm2.
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3 P |
| A 3.5 |
Die Trapeze BCQnPn sind Grundflächen von Pyramiden BCQnPnA mit der gemeinsamen Spitze A und der Höhe [AH] mit H ∈ [DS].
Zeichnen Sie die Pyramide BCQ1P1A und die Höhe [AH] in das Schrägbild zu 3.1 ein.
Zeigen
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Für das Volumen der Pyramiden BCQnPnA gilt:
V(x) = 1/3 · A(x) ·
AH
Die Länge der Strecke [AH] kannst du mit Hilfe des Sinus im rechtwinkligen Dreieck DHA bestimmen:
sin73,30° = AH/9cm
AH = 8,62cm
Daraus folgt:
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VBCQnPnA(x)= 1/3 · 8,62 ·
(-0,58x2 + 12x)cm3
VBCQnPnA(x) = (- 1,67x2 + 34,48x)cm3
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Sie sodann, dass für das Volumen V(x) der Pyramiden BCQnPnA in Abhängigkeit von x gilt:
V(x) = ( - 1,67x2 + 34,48x) cm3.
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3 P |
| A 3.6 |
Das Volumen der Pyramide BCQ2P2A ist halb so groß wie das Volumen der Pyramide ABCS.
Berechnen
Dazu bestimmst du zuerst das Volumen der Pyramide ABCS.
V ABCS = 1/3 ·
1/2 · 12 · 9 · 10cm 3
V ABCS = 180cm 3
Da V BCQnPnA(x) = (- 1,67x 2 + 34,48x) cm 3 gilt,
folgt:
- 1,67x 2 + 34,48x = 0,5 · 180
0 < x < 10,44 ;
⇔ - 1,67x 2 + 34,48x - 90 = 0
Für die Diskriminante D = b 2 - 4ac
ergibt sich somit D = 34,48 2 - 4 · ( - 1,67) · ( - 90) = 587,67
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Durch Anwenden der Lösungsformel x1/2 =
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-b ± D
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2 · a
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erhält man
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x1/2 =
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-34,48 ± 587,67
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2 · (-1,67)
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⇔ x = 3,07 ∨ x = 17,58
IL = {3,07},
da die zweite Lösung (x = 17,58) nicht zur Grundmenge gehört.
Sie den zugehörigen Wert für x. (Auf zwei Stellen nach dem Komma runden.)
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3 P |