| A 1.0 |
Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y = ax2 + 0,5x + c mit G = IRxIR, a ∈ IR\ {0}
und c ∈ IR. Die Parabel p verläuft durch die Punkte P(-1|-4) und Q(5|-7). Die Gerade g hat die Gleichung y = -0,5x + 3 mit G = IRxIR.
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| A 1.1 |
Zeigen
Da die Punkte P( -1| -4) und
Q( 5| -7) auf der Parabel p
mit y = a x2 + 0,5 x + c liegen, können die Koordinaten der beiden Punkte für x und y eingesetzt werden. Da beide Gleichungen erfüllt sein müssen, erhältst du ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen
a und c. Dieses kannst du z. B. mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen: G = IRxIR.
| ⇒ |
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-4 = a · (-1)2 + 0,5 · (-1) + c
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∧ -7 = a · -52 + 0,5 · 5 + c
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⇔
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-4 = a · 1 - 0,5 + c | · (-1)
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∧ -7 = a · 25 + 2,5 · + c
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|
⇔
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4 = -a + 0,5 - c
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∧ -7 = 25a + 2,5 · + c
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I + II G = IR
⇒ -3 = 24a + 3 | -3
⇔ -6 = 24a | :24
⇔ -0,25 = a
Diesen Wert für a kannst du nun in eine der obigen Gleichungen einsetzen,
z. B. in II
⇒ -7 = 25 · (-0,25) + 2,5 + c
⇔ -7 = -6,25 + 2,5 + c
⇔ -7 = -3,75 + c | +3,75
⇔ -3,25 = c IL = {(-0,25 | -3,25)}
Somit ergibt sich die Gleichung p mit y = -0,25x2 + 0,5x - 3,25
Sie durch Berechnung der Werte a und c, dass die Parabel p die Gleichung y = -0,25x2 + 0,5x -3,25 hat.
Erstellen
p mit y = -0,25x 2 + 0,5x -3,25
| x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| y |
-7 |
-5,25 |
-4 |
-3,25 |
-3 |
-3,25 |
-4 |
-5,25 |
-7 |
Sie für die Parabel p eine Wertetabelle für x ∈ [-3;5] in Schritten von Δx = 1 und zeichnen Sie die
Parabel p und die Geraden g in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
-4 ≤ x ≤ 9 ; -9 ≤ y ≤ 5
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4 P |
| A 1.2 |
Punkte An(x | -0,25x2 +0,5x - 3,25) auf der Parabel p und Punkte Dn(x | -0,5x + 3) auf der Geraden g haben jeweils die gleiche Abszisse x. Sie bilden zusammen
mit den Punkten Bn und Cn Eckpunkte von Trapezen AnBnCnDn
und es gilt:
| AnBn→ = |
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, |
BnCn = 3LE und [AnDn] || [BnCn]
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Zeichnen
Sie die Trapeze A1B1C1D1 für x = -1 und A2B2C2D2
für x = 4 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
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2 P |
| A 1.3 |
Überprüfen
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Um die Geradengleichung von A1B1 zu ermitteln, musst
du zuerst die Steigung der Geraden ermitteln.
Mit Hilfe der Vektorkoordinaten
kann die Steigung mAnBn = 0,75
berechnet werden (s. Zeichnung).
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Da A1(-1|4) auf der Geraden liegt, ergibt sich mit Hilfe
der Punkt-Steigungs-Form:
y = m · (x - xA) -
yA
⇒ A1B1 mit
y = 0,75 · (x - (-1)) - 4
⇔ y = 0,75x + 0,75 - 4
⇔ y = 0,75x -3,25
Zur Überprüfung, ob A1B1 Tangente an p ist,
musst du die Parabel mit der Gerade schneiden.
⇒ -0,25x2 + 0,5x - 3,25 = 0,75x - 3,25 G = IR.
⇔ -0,25x2 - 0,25x = 0
Für die Diskriminante D = b2 - 4ac ergibt sich somit
D = (-0,25)2 - 4 · (-0,25) · 0 = 0,625
Da D > 0 ⇔ A1B1 ist keine Tangente.
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Sie rechnerisch, ob die Gerade A1B1 Tangente an die Parabel p ist. [Teilergebnis: A1B1: y = 0,75x - 3,25]
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1 P |
| A 1.4 |
Zeigen
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Die Punkte An und Dn
besitzen laut Angabe stets die gleiche Abszisse (x-Wert).
Daher kann man die Länge der Strecke [AnDn] durch
Subtraktion der y-Koordinaten der
Punkte Dn und An erhalten.
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yD - yA
= - 0,5x + 3 - (- 0,25x2 + 0,5x - 3,25)
yD - yA = - 0,5x + 3 + 0,25x2 - 0,5x + 3,25
yD - yA = 0,25x2 - x + 6,25
Somit gilt:
AnDn (x) = (0,25x2 - x + 6,25)LE
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Sie durch Rechnung, dass sich die Seitenlänge AnDn (x) aller Trapeze AnBnCnDn
in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An wie folgt darstellen lässt:
AnDn (x) = (0,25x2 - x + 6,25)LE
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1 P |
| A 1.5 |
Stellen
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Den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCnDn bestimmst du mit Hilfe
der Formel:
A(x) = 1/2 · (
AnDn +
BnCn ) · h
Dabei ist
AnDn (x) = (0,25x2 - x + 6,25)LE
und laut Angabentext
BnCn = 3LE
Die Höhe h = 4LE ergibt sich aus den Koordinaten des Vektors
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Damit ergibt sich:
A(x) = 0,5 · (0,25x2 - x + 6,25
+ 3) · 4 FE
A(x) = 2 · (0,25x2 - x + 9,25) FE
A(x) = (0,5x2 - 2x + 18,5) FE
Zur Bestimmung von Amin betrachte ich:
T(x) = 0,5x2 - 2x + 18,5
T(x) = 0,5[x2 - 4x] + 18,5
T(x) = 0,5[(x2 - 4x + 22) - 22] + 18,5
T(x) = 0,5[(x - 2)2 - 4] + 18,5
T(x) = 0,5(x - 2)2 - 2 + 18,5
Damit ist Amin = 16,5FE
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Sie den Flächeninhalt A(x) der Trapeze AnBnCnDn in
Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte An dar.
Berechnen Sie sodann den kleinstmöglichen Flächeninhalt Amin.
[Teilergebnis: A(x) = (0,5x2 - 2x + 18,5)FE ]
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4 P |
| A 1.6 |
Unter den Trapezen AnBnCnDn gibt es zwei Trapeze A3B3C3D3 und
A4B4C4D4, in denen der Winkel A3D3C3 zw. A4D4C4 jeweils das Maß 90° hat.
Begründen
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Haben die Winkel A3D3C3bzw. A4D4C4 das Maß 90°,
so haben auch die Winkel D3C3B3 und D4C4B4 das Maß 90°.
Das in der Zeichnung ergänzte Viereck A3H3C3D3
ist somit ein Rechteck. Damit müssen die Längen der Seiten [A3D3] und [H3C3] gleich sein.
Die Länge der Seite[H3C3] beträgt 6LE, da
BnCn = 3LE
und die y-Koordinate des Vektors
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Somit gilt auch:
A3D3 = 6LE bzw.
A4D4 = 6LE
Da AnDn (x) = (0,25x2 - x + 6,25)LE folgt:
0,25x2 - x + 6,25 = 6 G = IR
⇔ 0,25x2 - x + 0,25 = 0
Für die Diskriminante D = b2 - 4ac
ergibt sich somit D = (-1)2 - 4 · 0,25 · 0,25 = 0,75
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Durch Anwenden der Lösungsformel x1/2 =
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-b ± D
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2 · a
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erhält man x1/2 =
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1 ± 0,75
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2 · 0,25
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⇔ x = 0,27 ∨ x = 3,73
⇒ IL = {0,27;3,73}
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Sie dass für diese beiden Trapeze gilt:
A3D3 = 6LE bzw.
A4D4 = 6LE.
Berechnen Sie sodann die x-Koordinaten der Punkte A3 und A4 auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet.
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3 P |