Die Symmetrieachse halbiert die Basis [P1Q1] im gleichschenkligen Dreieck MP1Q1. Die Länge der Strecke [R1P1] kannst du im ΔMR1P1 mit Hilfe des Pythagoras berechnen.

P1Q1 = 2 ·  P1R1 P1Q1 = 2 ·  72 - 42 cm   ⇒   P1Q1 = 11,49cm Zur Berechnung der Bogenlänge musst du zuerst ∡P1MQ1 bestimmen. Dabei ist: ∡P1MQ1 = 2 · ∡P1MR1    Im rechtwinkligen ΔMP1R1 gilt: cos∡P1MR1 = 4/7   ⇒   ∡P1MR1 = 55,15° P1Q1    = 7cm · π · 2 · 55,15°/180°      ⇒   P1Q1    = 13,48cm Bleibt abschließend noch die Berechnung des Prozentsatzes: p/100  = 13,48cm/11,49cm      p = 117,32 P1Q1     ist somit um 17,32% länger als P1Q1 .

Der schraffierte Flächeninhalt A_Segment ergibt durch folgenden Ansatz:
A_Segment = A_{Sektor MP2Q2} - A_ΔP2Q2M
∡P₂MQ₂ = 60°
A_{Sektor MP2Q2} = (7cm)² · π ·      A_{Sektor MP2Q2} = 25,66cm²
ΔP₂Q₂M ist gleichseitig
  ⇒   A_ΔP2Q2M =  · 3     A_ΔP2Q2M = 21,22cm²
A_Segment = 25,66cm² - 21,22cm² = 4,44cm²

Für die Oberfläche einer Kugel gilt:
A_Kugel = 4 · π · r²
Du musst allerdings beachten, dass sich die Oberfläche einer Halbkugel aus der halben Oberfläche der Kugel und der Fläche des Grundkreises zusammensetzt. Dabei ist:   A_Kreis = r² · π

A_Halbkugel = 0,5 · A_Kugel + A_Kreis
A_Halbkugel = 0,5 · 4 · π · (7cm)² + (7cm)² · p = 147πcm²

Für die Oberfläche eines Kegels gilt:
A_Kegel = r · π · (r + s).
Da r = xcm und s = 7cm folgt:
A_Kegel(x) = x · π · (x + 7) cm²
A_Kegel(x) = π · x · (x + 7) cm²
A_Kegel(x) = π · (x² + 7x) cm²

Für den Oberflächeninhalt der Kegel gilt: A_Kegel(x) = p · (x² + 7x)cm²
Für den Oberflächeninhalt der Halbkugel gilt: A_Halbkugel = 147πcm²

       π · (x² + 7x) = 0,5 · 147π   | : π
  ⇔   x² + 7x = 73,5
  ⇔   x² + 7x - 73,5 = 0
Für die Diskriminante D = b² - 4ac
ergibt sich somit D = 7² - 4 · 1 · (-73,5) = 343

Durch Anwenden der Lösungsformel  x1/2 =	-b ± D
	2 · a

erhält man       x1/2 =	-7 ± 343
	2 · 1

  ⇔   x = 5,76 ( ∨ x = -12,76)   ⇒  IL = {5,76}

Im Dreieck MP_nR_n gilt:
sin65° =   ⇔   x = 6,34
  ⇒   IL = {6,34}   ⇒   = 6,34cm
In Aufgabe 3.4 wurde die Kegeloberfläche bestimmt.
A_Kegel(x) = π · (x² + 7x)cm²
Daher folgt:
A₃ = π · (6,34² + 7 · 6,34)cm² ;    A₃ = 265,70cm²