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Abschlussprüfung
Abschlussprüfung 2003
-
Gruppe II - B1
Nutzungshinweis
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blauen fettgedruckten Begriffe
erhältst du Lösungen bzw. Lösungshinweise.
Viel Erfolg bei der anstehenden Abschlussprüfung!
Abschlussprüfung 2003
-
Mathematik II
Gruppe B Aufgabe 1
A 1.0
Die Parabel p hat eine Gleichung der Form y = ax
2
+ x mit G = IRxIR und a ∈ IR\ {0}. Die Parabel p verläuft durch den Punkt R(-2|-2,5).
A 1.1
Zeigen
A 1.1 Berechnung von p
Du kannst a berechnen, indem du den Punkt (-2|-2,5)
in die Gleichung y = ax
2
+ x einsetzt.
⇒ -2,5 = a · (-2)
2
+ (-2).
⇔ -2,5 = 4a - 2
⇔ -0,5 = 4a
⇔ a = -0,125 ⇒ IL = {-0,125}
⇒ p mit y = -0,125x
2
+ x
Sie
durch Berechnung des Wertes für a, dass die Parabel p die Gleichung y = -0,125x
2
+ x hat.
Erstellen
A 1.1 Tabelle und Zeichnung
p mit y = -0,125x
2
+ x
x
-4
-2
0
2
4
6
8
10
y
-6
-2,5
0
1,5
2
1,5
0
-2,5
Sie
für die Parabel p eine Wertetabelle für x ∈ [-4;10] in Schritten von Δx = 2 und zeichnen Sie die Parabel p in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm; -4 < x < 11 ; -11 < y < 3
3 P
A 1.2
Punkte A
n
(x | -0,125x
2
+ x) und Punkte D
n
liegen auf der Parabel p und sind für x < 5 ; x ∈ IR zusammen mit Punkten B
n
und C
n
die Eckpunkte von Trapezen A
n
B
n
C
n
D
n
. Die Abszisse der Punkte D
n
ist stets um 4 größer als die Abszisse x der Punkte A
n
. Die parallelen Grundseiten der Trapeze sind [A
n
B
n
] und [C
n
D
n
].
Dabei gilt:
A
n
B
n
→
=
8
-6
und
D
n
C
n
→
=
4
-3
Zeichnen
A 1.2 Trapeze einzeichnen
Sie
die Trapeze A
1
B
1
C
1
D
1
für x = -3 und A
2
B
2
C
2
D
2
für x = 2 in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
2 P
A 1.3
Bestätigen
A 1.3 Berechnung der Koordinaten von D
n
Da die Punkte D
n
auf der Parabel liegen, kannst du den x-Wert
(x + 4)
der Punkte D
n
in die Parabelgleichung y = 0,125x
2
+ x einsetzen. Dann gilt:
D
n
(
x + 4
| -0,125 · (
x + 4
)
2
+ (
x + 4
))
D
n
(x + 4 | -0,125 · (x
2
+ 8x + 16) + x + 4)
D
n
(x + 4 | -0,125 x
2
- x - 2 + x + 4)
D
n
(x + 4 | -0,125x
2
+ 2)
Sie
durch Rechnung, dass sich die Koordinaten der Punkte D
n
in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A
n
folgendermaßen darstellen lassen: D
n
(x+4 | -0,125x
2
+ 2)
1 P
A 1.4
Zeigen
A 1.4 Berechnung der Länge der Strecke [B
n
C
n
]
Die Punkte C
n
und B
n
besitzen stets die gleiche Abszisse (x-Wert). Du kannst dir dies durch die Zeichnung noch einmal verdeutlichen. Daher kann man die Länge der Strecke [B
n
C
n
] durch Subtraktion der y-Koordinaten der Punkte C
n
und B
n
erhalten.
y
C
- y
B
Es gilt ferner
y
C
= y
D
- 3 und
y
B
= y
A
- 6
y
C
- y
B
= y
D
- 3 - (y
A
- 6)
Da D
n
(x+4 | -0,125x
2
+ 2) und A
n
(x | -0,125x
2
+ 4) ⇒
y
C
- y
B
= -0,125x
2
+ 2 - 3 - (-0,125x
2
+ x - 6)
y
C
- y
B
= -0,125x
2
-1 + 0,125x
2
- x + 6
y
C
- y
B
= -x + 5 ; ⇒
B
n
C
n
(x) = (5 - x)LE
Sie
durch Rechnung, dass sich die Seitenlänge
B
n
C
n
(x) aller Trapeze A
n
B
n
C
n
D
n
in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte A
n
wie folgt darstellen lässt:
B
n
C
n
(x) = (5 - x)LE
3 P
A 1.5
Das Trapez A
3
B
3
C
3
D
3
ist gleichschenklig.
Ermitteln
A 1.5 gleichschenkliges Trapez A
3
B
3
C
3
D
3
Da die Länge der Schenkel [A
n
D
n
] und [B
n
C
n
] gleich ist, folgt:
A
n
D
n
=
B
n
C
n
Nach 1.4 ist
B
n
C
n
(x) = (5 - x)LE
A
n
D
n
(x)
→
=
x + 4 - x
-0,125x
2
+ 2 - (-0,125x
2
+ x)
⇒
A
n
D
n
(x)
→
=
4
2 - x
A
n
D
n
(x) =
4
2
+ (2 - x)
2
LE
A
n
D
n
(x) =
16 + 4 - 4x + x
2
LE
A
n
D
n
(x) =
20 - 4x + x
2
LE
A
n
D
n
=
B
n
C
n
⇒
x
2
- 4x - 20
= 5 - x
Aus der Wurzeldefinition folgt:
x
2
- 4x + 20 = 25 - 10x + x
2
| - x
2
⇔ - 4x + 20 = 25 - 10x | +10x - 20
⇔ 6x = 5
⇔ x =
5
/
6
⇒ L = {
5
/
6
}
Sie
durch Rechnung die x-Koordinate des Punkte A
3
.
4 P
A 1.6
Im Trapez A
4
B
4
C
4
D
4
hat der Winkel B
4
A
4
D
4
das Maß 90°.
Berechnen
A 1.6 Trapez A
4
B
4
C
4
D
4
mit rechtem Winkel
Wenn der Winkel B
4
A
4
D
4
das Maß 90° haben soll, stehen die Geraden AB und AD senkrecht aufeinander (siehe Zeichnung). Somit gilt für die Steigungen der zugehörigen Geraden:
m
AB
· m
AD
= -1
Die Steigungen können anhand der Vektoren ermittelt werden.
A
n
B
n
→
=
8
-6
⇒ m
AB
=
-6
/
8
= -
3
/
4
A
n
D
n
(x)
→
=
4
2 - x
⇒ m
AB
=
2 - x
/
4
Aus
m
AB
· m
AD
= -1
folgt:
-
3
/
4
·
2 - x
/
4
= -1 ⇔
-6 + 3x
/
16
= -1 | · 16
⇔ -6 + 3x = -16 ⇔ 3x = -10
⇔ x = -
10
/
3
⇒ IL = {-
10
/
3
}
Sie
die x-Koordinate des Punktes A
4
.
3 P
für das kostenfreie
Fortbestehen der Webseite.