Zahlrechnung Grundgesetze

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1. Rechnen mit Zahlen

Klasse 5: Grundgesetze

Ein einfacher Term besteht aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind. Bsp.: -4 + 7

Für eine Punktrechnung gelten die Vorzeichenregeln:

Multiplikation +4 ⋅ (+7) = 28 +4 ⋅ (-7) = -28 -4 ⋅ (+7) = -28 -4 ⋅ (-7) = +28
Division +18 : (+3) = +6 +18 : (-3) = -6 -18 : (+3) = -18 -18 : (-3) = +6

Beachte: Mathematiker haben sich viele abkürzende Schreibweisen einfallen lassen, welche komplett identisch ist.
So werden unnötige Rechenzeichen und Klammern meist weggelassen. Bsp.: aus -4 ⋅ (+7) wird so -4 ⋅ 7
Zwei Schreibweisen, welche das gleiche bedeuten sorgt leider oft für Missverständniss, wenn man sich ihrer nicht bewusst ist.
In der nachfolgenden Tabelle siehst du die Auswirkungen der Kurzschreibweise. Beide Tabellen sind identisch!

Multiplikation: 4 ⋅ 7 = 28 4 ⋅ (-7) = -28 -4 ⋅ 7 = -28 -4 ⋅ (-7) = 28
Division: 18 : 3 = 6 18 : (-3) = -6 -18 : 3 = -18 -18 : (-3) = 6

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig vertauschen.

 a + b = b + a
 a ⋅ b = b ⋅ a

Beachte: Bei der Strichrechnung die Vorzeichen mit Vertauschen!

 -4 + 7 = +3             4 - 7 = -3            -2 - 5 = -7            2 + 5 =  7      
   
 +7 - 4 = +3            -7 + 4 = -3            -5 - 2 = -7            5 + 2 =  7          

Beachte: Bei der Punktrechnung die dazugehörige Vorzeichenregel und Klammersetzung beachten!
Folgen zwei Rechenzeichen aufeinander müssen sie durch eine Klammer voneinander getrennt werden.

       2 ⋅ 5 = 10              -2 ⋅ 5 =  -10       2 ⋅ (-5) = -10            -2 ⋅ (-5) =  10      
   
       5 ⋅ 2 = 10            5 ⋅ (-2) =  -10         -5 ⋅ 2 = -10            -5 ⋅ (-2) =  10 

Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig durch Klammersetzung zusammenfassen.

 a + b + c = (a + b) + c  = a + (b + c) 
 a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c  = a ⋅ (b ⋅ c) 

Die Klammern werden dabei zuerst ausgerechnet.


Beispiel Strichrechnung:

 2 + 5 + 3 = (2 + 5) + 3 = 7 + 3  = 10    oder   2 + 5 + 3 = 2 + (5 + 3) = 2 + 8  = 10 

Beispiel Punktrechnung:

 2 ⋅ 5 ⋅ 3 = (2 ⋅ 5) ⋅ 3 = 10 ⋅ 3  = 30    oder   2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 2 ⋅ (5 ⋅ 3) = 2 ⋅ 15  = 30 

Klammerrechnung

Klammer vor Punkt vor Strich und Distributivgesetz

Kommen Punkt- und Strichrechnung gemischt vor, so sind kommt die Punktrechnung vor der Strichrechnung

 -6 + 3 ⋅ 4 = -6 + 12 = 6 

Klammern verändern die Rechenreihenfolge.

 (-6 + 3) ⋅ 4 = -3 ⋅ 4 = -12 

Bei einer Multiplikation/Division von Klammern, wird "jede Zahl mit jeweiligen Vorzeichen in der Klammer mit der Zahl vor der Klammer entsprechend verrechnet"

 (a + b) ⋅ c  = a ⋅ c + b ⋅ c 
(-6 + 3) ⋅ 4 = -6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = -24 + 12 = -12
 (a + b) : c  = a : c + b : c 
(8 - 6) : 2 = 8 : 2 - 6 : 2 = 4 - 3 = 1


Klasse 6: Bruchrechnung

Bruchteil

Grundbegriffe

Erweitern & Kürzen

Das 1x1 ist sehr nützlich und hilfreich bei diesen Aufgaben!

Kurzfassung:

Regeln für: Vorgehen Übungen
Erweitern Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert Fehler finden
Gemeinsamen Nenner finden
Wertgleiche Brüche finden
Kürzen Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl dividiert Fehler finden
Kürzen
Gemeinsamen Nenner finden

Bruchtypen

Man unterscheidet folgende Brüche:

Echter Bruch Zähler kleiner als Nenner
Unechter Bruch Zähler größer als Nenner
Scheinbruch Bruch Nenner gleich 1
Stammbruch Zähler gleich 1
Gemischte Zahl Kombination aus ganzer Zahl und Bruch
Gleichnamige Brüche Im Nenner steht die gleiche Zahl
Ungleichnamige Brüche Nenner alle ungleich
Dezimalzahl Eine in "Kommaschreibweise" geschriebene gemischte Zahl

Rechenregeln für Brüche

Addition/Subtraktion

Kurzfassung:

Regeln für: Vorgehen Übungen
Gleichnamige Brüche Zähler addieren oder subtrahieren; Nenner bleibt gleich Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Ungleichnamige Brüche Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern) Ungleichnamige Brüche addieren
Ungleichnamige Brüche subtrahieren
Gemischte Zahlen Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern) und dann zusammenrechnen;
Empfehlung: Gemischte Zahl vor dem Zusammenrechnen in einen unechten Bruch umwandlen, dann passieren meist weniger Fehler
Gemischte Zahl addieren
Gemischte Zahl subtrahieren

Multiplikation

Kurzfassung:

Ganze Zahl mit Bruch Ganze Zahl mal Zähler; Nenner bleibt gleich
Burch mal Bruch Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner
Gemischte Zahl mit ganzer Zahl Gemischte Zahl zuerst in Bruch umwandeln
Gemischte Zahl mit gemischter Zahl Gemischte Zahlen zuerst in Brüche umwandeln

Division

Kurzfassung:

Bruch durch ganze Zahl Ganze Zahl mal Nenner; Zähler bleibt gleich
Ganze Zahl durch Bruch Ganze Zahl mal Kehrbruch des Bruches
Bruch durch Bruch Zählerbruch mal Kehrbruch des Nennerbruchs
Gemischte Zahl durch Gemischte Zahl In unechte Brüche umwandeln und Kehrbruch anwenden

Verbindung mit Grundrechenarten

Klasse 5-7: Potenzen

Klasse 5/7: Zehnerpotenzen

Zusammenhang Vorsatz und Zehnerpotenz

Beispiel 1 Beispiel 2
Verwendung eines Einheitenvorsatzes 3600 m = 3,6 km 0,0021 m = 2,1 mm
Verwendung einer Zehnerpotenz 3600 m = 3,6 * 103 m 0,0021 m = 2,1 * 10-3 m

Es ist dabei oft hilfreich die gängigsten Vorsätze und Zehnerpotenzen (grün markiert) zu kennen.

Symbol Name Potenz Zahl
Y Yotta 1024 1 000 000 000 000 000 000 000 000
Z Zetta 1021 1 000 000 000 000 000 000 000
E Exa 1018 1 000 000 000 000 000 000
P Peta 1015 1 000 000 000 000 000
T Tera 1012 1 000 000 000 000
G Giga 109 1 000 000 000
M Mega 106 1 000 000
k Kilo 103 1 000
h Hekto 102 100
da Deka 101 10
- - 100 1
d Dezi 10-1 0,1
c Zenti 10-2 0,01
m Milli 10-3 0,001
µ Mikro 10-6 0,000 001
n Nano 10-9 0,000 000 001
p Piko 10-12 0,000 000 000 001
f Femto 10-15 0,000 000 000 000 001
a Atto 10-18 0,000 000 000 000 000 001
z Zepto 10-21 0,000 000 000 000 000 000 001
y Yokto 10-24 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Klasse 7: Potenzgesetze

Klasse 8: Rechnen mit Wurzeln