Zahlrechnung Grundgesetze

1. Rechnen mit Zahlen

Klasse 5: Grundgesetze

Ein einfacher Term besteht aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind. Bsp.: -4 + 7

Für eine Punktrechnung gelten die Vorzeichenregeln:

Multiplikation	+4 ⋅ (+7) = 28	+4 ⋅ (-7) = -28	-4 ⋅ (+7) = -28	-4 ⋅ (-7) = +28
Division	+18 : (+3) = +6	+18 : (-3) = -6	-18 : (+3) = -18	-18 : (-3) = +6

Beachte: Mathematiker haben sich viele abkürzende Schreibweisen einfallen lassen, welche komplett identisch ist.
So werden unnötige Rechenzeichen und Klammern meist weggelassen. Bsp.: aus -4 ⋅ (+7) wird so -4 ⋅ 7
Zwei Schreibweisen, welche das gleiche bedeuten sorgt leider oft für Missverständniss, wenn man sich ihrer nicht bewusst ist.
In der nachfolgenden Tabelle siehst du die Auswirkungen der Kurzschreibweise. Beide Tabellen sind identisch!

Multiplikation:	4 ⋅ 7 = 28	4 ⋅ (-7) = -28	-4 ⋅ 7 = -28	-4 ⋅ (-7) = 28
Division:	18 : 3 = 6	18 : (-3) = -6	-18 : 3 = -18	-18 : (-3) = 6

• Addieren und Subtrahieren - Lvl 1
• Addieren und Subtrahieren - Lvl 2
• Multiplizieren
• Dividieren

Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)

Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig vertauschen.

 a + b = b + a

 a ⋅ b = b ⋅ a

Beachte: Bei der Strichrechnung die Vorzeichen mit Vertauschen!

 -4 + 7 = +3             4 - 7 = -3            -2 - 5 = -7            2 + 5 =  7      
   
 +7 - 4 = +3            -7 + 4 = -3            -5 - 2 = -7            5 + 2 =  7          

Beachte: Bei der Punktrechnung die dazugehörige Vorzeichenregel und Klammersetzung beachten!
Folgen zwei Rechenzeichen aufeinander müssen sie durch eine Klammer voneinander getrennt werden.

       2 ⋅ 5 = 10              -2 ⋅ 5 =  -10       2 ⋅ (-5) = -10            -2 ⋅ (-5) =  10      
   
       5 ⋅ 2 = 10            5 ⋅ (-2) =  -10         -5 ⋅ 2 = -10            -5 ⋅ (-2) =  10 

Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)

Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig durch Klammersetzung zusammenfassen.

 a + b + c = (a + b) + c  = a + (b + c) 

 a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c  = a ⋅ (b ⋅ c) 

Die Klammern werden dabei zuerst ausgerechnet.

Beispiel Strichrechnung:

 2 + 5 + 3 = (2 + 5) + 3 = 7 + 3  = 10    oder   2 + 5 + 3 = 2 + (5 + 3) = 2 + 8  = 10 

Beispiel Punktrechnung:

 2 ⋅ 5 ⋅ 3 = (2 ⋅ 5) ⋅ 3 = 10 ⋅ 3  = 30    oder   2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 2 ⋅ (5 ⋅ 3) = 2 ⋅ 15  = 30 

Klammerrechnung

• Klammerrechnug- Lvl 1
• Klammerrechnung - Lvl 2

Klammer vor Punkt vor Strich und Distributivgesetz

Kommen Punkt- und Strichrechnung gemischt vor, so sind kommt die Punktrechnung vor der Strichrechnung

 -6 + 3 ⋅ 4 = -6 + 12 = 6 

Klammern verändern die Rechenreihenfolge.

 (-6 + 3) ⋅ 4 = -3 ⋅ 4 = -12 

Bei einer Multiplikation/Division von Klammern, wird "jede Zahl mit jeweiligen Vorzeichen in der Klammer mit der Zahl vor der Klammer entsprechend verrechnet"

 (a + b) ⋅ c  = a ⋅ c + b ⋅ c 
 (-6 + 3) ⋅ 4 = -6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = -24 + 12 = -12

 (a + b) : c  = a : c + b : c 
 (8 - 6) : 2 = 8 : 2 - 6 : 2 = 4 - 3 = 1

• Punkt vor Strich
• Rechenregeln in N
• Zahl mal Klammer
• Distributivgestz

• Grundrechenarten
• Rechnen mit ganzen Zahlen

Klasse 6: Bruchrechnung

Bruchteil

Grundbegriffe

• Lernweg - Was ist ein Bruchteil - Ausführlich
• Was ist ein Bruchteil? - Kurzfassung

Erweitern & Kürzen

Das 1x1 ist sehr nützlich und hilfreich bei diesen Aufgaben!

• Lernweg - Erweitern&Kürzen - Ausführlich

Kurzfassung:

Regeln für:	Vorgehen	Übungen
Erweitern	Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert	Fehler finden Gemeinsamen Nenner finden Wertgleiche Brüche finden
Kürzen	Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl dividiert	Fehler finden Kürzen Gemeinsamen Nenner finden

Bruchtypen

Man unterscheidet folgende Brüche:

Echter Bruch	Zähler kleiner als Nenner
Unechter Bruch	Zähler größer als Nenner
Scheinbruch Bruch	Nenner gleich 1
Stammbruch	Zähler gleich 1
Gemischte Zahl	Kombination aus ganzer Zahl und Bruch
Gleichnamige Brüche	Im Nenner steht die gleiche Zahl
Ungleichnamige Brüche	Nenner alle ungleich
Dezimalzahl	Eine in "Kommaschreibweise" geschriebene gemischte Zahl

• Brucharten erkennen

Rechenregeln für Brüche

Addition/Subtraktion

• Lernweg - Brüche Addieren - Ausführlich
• Lernweg - Brüche subtrahieren - Ausführlich

Kurzfassung:

Regeln für:	Vorgehen	Übungen
Gleichnamige Brüche	Zähler addieren oder subtrahieren; Nenner bleibt gleich	Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren
Ungleichnamige Brüche	Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern)	Ungleichnamige Brüche addieren Ungleichnamige Brüche subtrahieren
Gemischte Zahlen	Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern) und dann zusammenrechnen; Empfehlung: Gemischte Zahl vor dem Zusammenrechnen in einen unechten Bruch umwandlen, dann passieren meist weniger Fehler	Gemischte Zahl addieren Gemischte Zahl subtrahieren

Multiplikation

• Lernweg - Brüche multiplizieren - Ausführlich

Kurzfassung:

Ganze Zahl mit Bruch	Ganze Zahl mal Zähler; Nenner bleibt gleich
Burch mal Bruch	Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner
Gemischte Zahl mit ganzer Zahl	Gemischte Zahl zuerst in Bruch umwandeln
Gemischte Zahl mit gemischter Zahl	Gemischte Zahlen zuerst in Brüche umwandeln

Division

• Lernweg - Brüche dividieren - Ausführlich

Kurzfassung:

Bruch durch ganze Zahl	Ganze Zahl mal Nenner; Zähler bleibt gleich
Ganze Zahl durch Bruch	Ganze Zahl mal Kehrbruch des Bruches
Bruch durch Bruch	Zählerbruch mal Kehrbruch des Nennerbruchs
Gemischte Zahl durch Gemischte Zahl	In unechte Brüche umwandeln und Kehrbruch anwenden

Verbindung mit Grundrechenarten

• Lernweg - Bruch und Klammer
• Runden
• Grundrechenarten addieren und multiplizieren
• Grundrechenarten addieren und dividieren
• Grundrechenarten verbinden
• Punkt vor Strich - Profi
• Punkt vor Strich - Champion
• Mit Beträgen rechnen
• Rechnen mit Klammern
• Rechnen mit Brüchen 1
• Rechnen mit Brüchen 2
• Rechnen mit Brüchen 3
• Rechnen mit Bruch und Dezimalzahl

Klasse 5-7: Potenzen

Klasse 5/7: Zehnerpotenzen

• Zehnerpotenzen verwenden --> Sehr wichtig für die Physik
• Zehnerpotenzen ausrechnen
• Zehnerpotenzen vergleichen

Zusammenhang Vorsatz und Zehnerpotenz

	Beispiel 1	Beispiel 2
Verwendung eines Einheitenvorsatzes	3600 m = 3,6 km	0,0021 m = 2,1 mm
Verwendung einer Zehnerpotenz	3600 m = 3,6 * 103 m	0,0021 m = 2,1 * 10-3 m

Es ist dabei oft hilfreich die gängigsten Vorsätze und Zehnerpotenzen (grün markiert) zu kennen.

Symbol	Name	Potenz	Zahl
Y	Yotta	1024	1 000 000 000 000 000 000 000 000
Z	Zetta	1021	1 000 000 000 000 000 000 000
E	Exa	1018	1 000 000 000 000 000 000
P	Peta	1015	1 000 000 000 000 000
T	Tera	1012	1 000 000 000 000
G	Giga	109	1 000 000 000
M	Mega	106	1 000 000
k	Kilo	103	1 000
h	Hekto	102	100
da	Deka	101	10
-	-	100	1
d	Dezi	10-1	0,1
c	Zenti	10-2	0,01
m	Milli	10-3	0,001
µ	Mikro	10-6	0,000 001
n	Nano	10-9	0,000 000 001
p	Piko	10-12	0,000 000 000 001
f	Femto	10-15	0,000 000 000 000 001
a	Atto	10-18	0,000 000 000 000 000 001
z	Zepto	10-21	0,000 000 000 000 000 000 001
y	Yokto	10-24	0,000 000 000 000 000 000 000 001