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Zahlrechnung Grundgesetze - Versionsgeschichte
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Admin: Die Seite wurde neu angelegt: „=1. Rechnen mit Zahlen= ==Klasse 5: Grundgesetze== Ein einfacher Term besteht aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind. Bsp.: -4 + 7 Für eine Punktrechnung gelten die Vorzeichenregeln: {| class="wikitable" |- |Multiplikation || +4 ⋅ (+7) = 28 || +4 ⋅ (-7) = -28 || -4 ⋅ (+7) = -28 || -4 ⋅ (-7) = +28 |- |Division || +18 : (+3) = +6 || +18 : (-3) = -6 || -18 : (+3) = -18 || -18 : (-3) = +6 |} <span style="color:re…“
2023-08-07T13:17:01Z
<p>Die Seite wurde neu angelegt: „=1. Rechnen mit Zahlen= ==Klasse 5: Grundgesetze== Ein einfacher Term besteht aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind. Bsp.: -4 + 7 Für eine Punktrechnung gelten die Vorzeichenregeln: {| class="wikitable" |- |Multiplikation || +4 ⋅ (+7) = 28 || +4 ⋅ (-7) = -28 || -4 ⋅ (+7) = -28 || -4 ⋅ (-7) = +28 |- |Division || +18 : (+3) = +6 || +18 : (-3) = -6 || -18 : (+3) = -18 || -18 : (-3) = +6 |} <span style="color:re…“</p>
<p><b>Neue Seite</b></p><div>=1. Rechnen mit Zahlen=<br />
<br />
==Klasse 5: Grundgesetze==<br />
Ein einfacher Term besteht aus Zahlen, die mit Rechenzeichen verknüpft sind. <br />
Bsp.: -4 + 7 <br />
<br />
Für eine Punktrechnung gelten die Vorzeichenregeln:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Multiplikation || +4 ⋅ (+7) = 28 || +4 ⋅ (-7) = -28 || -4 ⋅ (+7) = -28 || -4 ⋅ (-7) = +28<br />
|-<br />
|Division || +18 : (+3) = +6 || +18 : (-3) = -6 || -18 : (+3) = -18 || -18 : (-3) = +6<br />
|}<br />
<br />
<span style="color:red;">Beachte: Mathematiker haben sich viele abkürzende Schreibweisen einfallen lassen, welche komplett identisch ist.</span><br /><br />
So werden unnötige Rechenzeichen und Klammern meist weggelassen. Bsp.: aus -4 ⋅ (+7) wird so -4 ⋅ 7<br /><br />
Zwei Schreibweisen, welche das gleiche bedeuten sorgt leider oft für Missverständniss, wenn man sich ihrer nicht bewusst ist.<br /><br />
In der nachfolgenden Tabelle siehst du die Auswirkungen der Kurzschreibweise. Beide Tabellen sind identisch!<br /><br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Multiplikation: || 4 ⋅ 7 = 28 || 4 ⋅ (-7) = -28 || -4 ⋅ 7 = -28 || -4 ⋅ (-7) = 28<br />
|-<br />
|Division: || 18 : 3 = 6 || 18 : (-3) = -6 || -18 : 3 = -18 || -18 : (-3) = 6<br />
|}<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/addundsubganz/ganze-zahlen-addieren-und-subtrahieren4.php Addieren und Subtrahieren - Lvl 1]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/addundsubganz/ganze-zahlen-addieren-und-subtrahieren04.php Addieren und Subtrahieren - Lvl 2]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/multganz/multganz.php Multiplizieren]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/divganz/divganz.php Dividieren]<br />
===Vertauschungsgesetz (Kommutativgesetz)===<br />
Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig vertauschen. <br />
<br />
''a + b = b + a''<br />
<br />
''a ⋅ b = b ⋅ a''<br />
<br />
<span style="color:red;">'''Beachte: Bei der Strichrechnung die Vorzeichen mit Vertauschen! '''</span><br />
<br />
''-4 + 7 = +3 4 - 7 = -3 -2 - 5 = -7 2 + 5 = 7 '' <br />
<br />
''+7 - 4 = +3 -7 + 4 = -3 -5 - 2 = -7 5 + 2 = 7 '' <br />
<br />
<span style="color:red;">'''Beachte: Bei der Punktrechnung die dazugehörige Vorzeichenregel und Klammersetzung beachten! '''</span><br /><br />
Folgen zwei Rechenzeichen aufeinander müssen sie durch eine Klammer voneinander getrennt werden.<br />
<br />
'' 2 ⋅ 5 = 10 -2 ⋅ 5 = -10 2 ⋅ (-5) = -10 -2 ⋅ (-5) = 10 '' <br />
<br />
'' 5 ⋅ 2 = 10 5 ⋅ (-2) = -10 -5 ⋅ 2 = -10 -5 ⋅ (-2) = 10 ''<br />
<br />
===Verbindungsgesetz (Assoziativgesetz)===<br />
Bei der Addition und Multiplikation kann man die Termglieder beliebig durch Klammersetzung zusammenfassen. <br />
<br />
''a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) ''<br />
<br />
''a ⋅ b ⋅ c = (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) ''<br />
<br />
Die Klammern werden dabei zuerst ausgerechnet.<br />
<br />
<br />
Beispiel Strichrechnung:<br />
<br />
''2 + 5 + 3 = (2 + 5) + 3 = 7 + 3 = 10 oder 2 + 5 + 3 = 2 + (5 + 3) = 2 + 8 = 10 ''<br />
<br />
Beispiel Punktrechnung:<br />
<br />
''2 ⋅ 5 ⋅ 3 = (2 ⋅ 5) ⋅ 3 = 10 ⋅ 3 = 30 oder 2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 2 ⋅ (5 ⋅ 3) = 2 ⋅ 15 = 30 ''<br />
<br />
===Klammerrechnung===<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/ganzzahl/berechneinz.php Klammerrechnug- Lvl 1]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/ganzzahl/berechneinz3.php Klammerrechnung - Lvl 2]<br />
<br />
===Klammer vor Punkt vor Strich und Distributivgesetz===<br />
Kommen Punkt- und Strichrechnung gemischt vor, so sind kommt die Punktrechnung vor der Strichrechnung<br />
<br />
''-6 + 3 ⋅ 4 = -6 + 12 = 6 ''<br />
<br />
Klammern verändern die Rechenreihenfolge.<br />
<br />
''(-6 + 3) ⋅ 4 = -3 ⋅ 4 = -12 ''<br />
<br />
Bei einer Multiplikation/Division von Klammern, wird "jede Zahl mit jeweiligen Vorzeichen in der Klammer mit der Zahl vor der Klammer entsprechend verrechnet"<br />
<br />
''(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c <br \> (-6 + 3) ⋅ 4 = -6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 = -24 + 12 = -12''<br />
<br />
''(a + b) : c = a : c + b : c <br \> (8 - 6) : 2 = 8 : 2 - 6 : 2 = 4 - 3 = 1''<br />
<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/ganzzahl/rechneinqneu.php Punkt vor Strich]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse5/dividieren/vermischtrech2b.php Rechenregeln in N]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/ganzzahl/rechneinzneu00.php Zahl mal Klammer]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse5/rechengesetze/anwenden02.php Distributivgestz]<br />
<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/ganzzahl/rechneinq3.php Grundrechenarten]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/ganzzahl/rechneinqneu4.php Rechnen mit ganzen Zahlen]<br />
<br />
<br />
==Klasse 6: Bruchrechnung==<br />
===Bruchteil===<br />
====Grundbegriffe====<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen.php Lernweg - Was ist ein Bruchteil - Ausführlich]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/bruchteil/bruchteil2.php Was ist ein Bruchteil? - Kurzfassung]<br />
<br />
====Erweitern & Kürzen====<br />
Das 1x1 ist sehr nützlich und hilfreich bei diesen Aufgaben!<br />
<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen2.php Lernweg - Erweitern&Kürzen - Ausführlich]<br />
<br />
Kurzfassung:<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Regeln für:|| Vorgehen || Übungen<br />
|-<br />
|Erweitern || Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl multipliziert || [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchaufgaben/falscherweitern.php Fehler finden] <br/> [http://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchaufgaben/nenngemein.php Gemeinsamen Nenner finden]<br/> [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/erweitere2.php Wertgleiche Brüche finden]<br />
|-<br />
|Kürzen || Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl dividiert || [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchaufgaben/falschkuerzen.php Fehler finden] <br/> [https://realmath.de/Neues/Klasse6/kuerzen/kuerzen.php Kürzen] <br/> [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchaufgaben/kuerzgemein.php Gemeinsamen Nenner finden] <br />
|-<br />
|}<br />
<br />
===Bruchtypen===<br />
Man unterscheidet folgende Brüche:<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Echter Bruch || Zähler kleiner als Nenner <br />
|-<br />
|Unechter Bruch || Zähler größer als Nenner <br />
|-<br />
|Scheinbruch Bruch || Nenner gleich 1<br />
|-<br />
|Stammbruch || Zähler gleich 1<br />
|-<br />
|Gemischte Zahl || Kombination aus ganzer Zahl und Bruch<br />
|-<br />
|Gleichnamige Brüche || Im Nenner steht die gleiche Zahl<br />
|-<br />
|Ungleichnamige Brüche|| Nenner alle ungleich<br />
|-<br />
|Dezimalzahl|| Eine in "Kommaschreibweise" geschriebene gemischte Zahl<br />
|-<br />
|}<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse6/brueche/bruchart2.php Brucharten erkennen]<br />
<br />
===Rechenregeln für Brüche===<br />
<br />
====Addition/Subtraktion====<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen4.php Lernweg - Brüche Addieren - Ausführlich]<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen4a.php Lernweg - Brüche subtrahieren - Ausführlich]<br />
<br />
Kurzfassung:<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Regeln für:|| Vorgehen || Übungen<br />
|-<br />
|Gleichnamige Brüche|| Zähler addieren oder subtrahieren; Nenner bleibt gleich || [http://realmath.de/Neues/Klasse6/addition/gleichnamig02.php Gleichnamige Brüche addieren und subtrahieren]<br />
|-<br />
|Ungleichnamige Brüche || Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern) || [http://realmath.de/Neues/Klasse6/addition/additionungleich2.php Ungleichnamige Brüche addieren] <br/> [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchsub/subungleich2.php Ungleichnamige Brüche subtrahieren]<br />
|-<br />
|Gemischte Zahlen || Nenner gleichnamig machen (Hauptnenner bilden, Bruch erweitern) und dann zusammenrechnen;<br/> Empfehlung: Gemischte Zahl vor dem Zusammenrechnen in einen unechten Bruch umwandlen, dann passieren meist weniger Fehler || [https://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchadd/gemischtadd.php Gemischte Zahl addieren] <br/> [http://realmath.de/Neues/Klasse6/bruchsub/gemischtsub.php Gemischte Zahl subtrahieren]<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
====Multiplikation====<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen3.php Lernweg - Brüche multiplizieren - Ausführlich]<br />
<br />
Kurzfassung:<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Ganze Zahl mit Bruch|| Ganze Zahl mal Zähler; Nenner bleibt gleich<br />
|-<br />
|Burch mal Bruch || Zähler mal Zähler; Nenner mal Nenner<br />
|-<br />
|Gemischte Zahl mit ganzer Zahl|| Gemischte Zahl zuerst in Bruch umwandeln<br />
|-<br />
|Gemischte Zahl mit gemischter Zahl|| Gemischte Zahlen zuerst in Brüche umwandeln<br />
|}<br />
<br />
====Division====<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen3a.php Lernweg - Brüche dividieren - Ausführlich]<br />
<br />
Kurzfassung:<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
|Bruch durch ganze Zahl|| Ganze Zahl mal Nenner; Zähler bleibt gleich<br />
|-<br />
|Ganze Zahl durch Bruch || Ganze Zahl mal Kehrbruch des Bruches<br />
|-<br />
|Bruch durch Bruch || Zählerbruch mal Kehrbruch des Nennerbruchs<br />
|-<br />
|Gemischte Zahl durch Gemischte Zahl || In unechte Brüche umwandeln und Kehrbruch anwenden<br />
|-<br />
|}<br />
<br />
====Verbindung mit Grundrechenarten====<br />
*[https://realmath.de/Neues/Klasse6/lernwege/bruchrechnen5.php Lernweg - Bruch und Klammer]<br />
*[http://www.realmath.de/Neues/Klasse6/dezimal/runden.php Runden]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/rechneninq.php Grundrechenarten addieren und multiplizieren]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/rechneninq201.php Grundrechenarten addieren und dividieren]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/rechneninq3.php Grundrechenarten verbinden]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalrech/rechnenq03.php Punkt vor Strich - Profi]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalrech/rechnenq04.php Punkt vor Strich - Champion]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalrech/vermischtesinq1b.php Mit Beträgen rechnen]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/berechneinq3.php Rechnen mit Klammern]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/pyramideaddrat03.php Rechnen mit Brüchen 1]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalzahl/pyramidemultrat3.php Rechnen mit Brüchen 2]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalrech/division03.php Rechnen mit Brüchen 3]<br />
*[https://www.realmath.de/Neues/Klasse7/rationalrech/ratiodezbruch.php Rechnen mit Bruch und Dezimalzahl]<br />
<br />
==Klasse 5-7: Potenzen==<br />
<br />
<br />
===Klasse 5/7: Zehnerpotenzen===<br />
<br />
* [http://realmath.de/Neues/Klasse7/potenzen/zehnerpotenzen.php Zehnerpotenzen verwenden --> Sehr wichtig für die Physik]<br />
* [https://realmath.de/Neues/Klasse7/potenzen/zehnerpotenzen2.php Zehnerpotenzen ausrechnen]<br />
* [http://realmath.de/Neues/Klasse7/potenzen/vergleichenpot2.php Zehnerpotenzen vergleichen]<br />
<br />
===Zusammenhang Vorsatz und Zehnerpotenz===<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! !! Beispiel 1 !! Beispiel 2 <br />
|-<br />
| Verwendung eines Einheitenvorsatzes || 3600 m = 3,6 km || 0,0021 m = 2,1 mm <br />
|-<br />
| Verwendung einer Zehnerpotenz || 3600 m = 3,6 * 10<sup>3</sup> m || 0,0021 m = 2,1 * 10<sup>-3</sup> m <br />
|}<br />
<br />
Es ist dabei oft hilfreich die gängigsten Vorsätze und Zehnerpotenzen (grün markiert) zu kennen.<br />
<br />
{| class="wikitable"<br />
|-<br />
! Symbol !! Name !! Potenz !! Zahl<br />
|-<br />
| Y || Yotta || 10<sup>24</sup> || 1 000 000 000 000 000 000 000 000<br />
|-<br />
| Z || Zetta || 10<sup>21</sup> || 1 000 000 000 000 000 000 000 <br />
|-<br />
| E || Exa || 10<sup>18</sup> || 1 000 000 000 000 000 000 <br />
|-<br />
| P || Peta || 10<sup>15</sup> || 1 000 000 000 000 000 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| T || Tera || 10<sup>12</sup> || 1 000 000 000 000 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| G || Giga || 10<sup>9</sup> || 1 000 000 000 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| M || Mega || 10<sup>6</sup> || 1 000 000 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| k || Kilo || 10<sup>3</sup> || 1 000 <br />
|-<br />
| h || Hekto || 10<sup>2</sup> || 100 <br />
|-<br />
| da || Deka || 10<sup>1</sup> || 10 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| - || - || 10<sup>0</sup> || 1 <br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| d || Dezi || 10<sup>-1</sup> || 0,1<br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| c || Zenti || 10<sup>-2</sup> || 0,01<br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| m || Milli || 10<sup>-3</sup> || 0,001<br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| µ || Mikro || 10<sup>-6</sup> || 0,000 001<br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| n || Nano || 10<sup>-9</sup> || 0,000 000 001<br />
|-style="background:lightgreen"<br />
| p || Piko || 10<sup>-12</sup> || 0,000 000 000 001<br />
|-<br />
| f || Femto || 10<sup>-15</sup> || 0,000 000 000 000 001<br />
|-<br />
| a || Atto || 10<sup>-18</sup> || 0,000 000 000 000 000 001<br />
|-<br />
| z || Zepto || 10<sup>-21</sup> || 0,000 000 000 000 000 000 001<br />
|-<br />
| y || Yokto || 10<sup>-24</sup> || 0,000 000 000 000 000 000 000 001<br />
|}<br />
<br />
===Klasse 7: Potenzgesetze===<br />
<br />
==Klasse 8: Rechnen mit Wurzeln==</div>
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