Zentrische Streckung

Anzeigen des aktuellen Streckungsfaktors k mit Hilfe der Termwertberechnung
Mathematischer Hintergrund:

Z ist das Zentrum einer Zentrischen Streckung, die P auf P' abbildet. Der aktuelle Streckungsfaktor k wird im Term-Werte - Fenster angezeigt. Durch Bewegen des Punktes H2 kann jeder beliebige Wert für k eingestellt werden. Da auch negative Werte für k möglich sind, kann in der Termwertberechnung nicht mit Streckenverhältnissen gearbeitet werden.

Im untenstehenden Bild ist die Konstruktion von P' folgender Maßen realisiert:

P' ist der Schnittpunkt der Geraden ZP mit der Parallelen zu H1'P durch H2'. Dabei sind die Punkte H1' und H2' gelotete Punkte.

Entwicklung der Formel zur Berechnung von k


Im Dreieck ZHH1 gilt:


Im Dreieck ZHH2 gilt:



Damit folgt:

    Zusätzliche Konstruktionselemente, die anschließend verborgen werden.

    • Z.B. die Gerade auf der die Hilfselemente H, H1 und H2 liegen,
    • die Parallele zu dieser Geraden durch Z, sowie die beiden geloteten Punkte H1' und H2'.

Anwendungsbeispiel:

Einführung der Zentrischen Streckung anhand einer Experimentieranordnung
In nebenstehendem Bild sehen Sie einen variablen Punkt Z, eine variables Dreieck PQR, dessen Bild Dreieck P'Q'R' sowie das Zugelement.
  • Durch Ziehen am Zugelement können beliebige Werte für k eingestellt und in der Term-Werte - Anzeige angezeigt werden.

    Die Unterscheidung k<0, 0<k<1 oder k>1 sowie die Sonderfälle k=1, k=-1 und k=0 können erarbeitet werden
  • Durch das Aufzeichnen der Ortslinie für die Punkte P', Q' oder R' und das Messen geeigneter Streckenlängen kann die Abbildungsvorschrift der Zentrischen Streckung erarbeitet werden.
  • Durch Variation der Lage der Punkte Z, P, Q und R ermöglichen eine Vielfalt von Experimentiereinstellungen. (z.B. der Punkt Z liegt innerhalb des Dreiecks PQR)

    • Die Vermutung der Parallelität von Ur- und Bildstrecken kann im Handeln erkannt werden.

  • Durch die Möglichkeit des Messens von Streckenlängen und der Termwertberechnung kann ebenso der Zusammenhang zwischen den Flächeninhalten der Ur- und Bildfigur experimentell ermittelt werden.

    Durch die Variationsmöglichkeiten kann die einmal gefundene Vermutung an vielen neuen Beispielen erhärtet werden.
  • Die Term-Werte - Anzeige zeigt unter
    1. Term : den aktuellen Wert für k und
    2. Term : das Verhältnis des Flächeninhalts der Bildfigur zu dem der Urfigur


Zwei Makros, die die Erstellung von Experimentieranordnungen erleichtern, werden im folgenden vorgestellt

1. Makro 'k-Konstrukt'

Dieses Makro stellt Ihnen eine Konstruktion zur Verfügung, mit der Sie den Streckungsfaktor k bei einer Zentrischen Streckung in der Termwertanzeige ermitteln können.

Zeichnen Sie dazu zwei beliebige Punkte Z und P in ein neues Arbeitsblatt und aktivieren Sie die Anzeige des Koordinatensystems. Legen Sie mit 'Punkt auf einer Linie' einen Punkt ZE auf die x-Achse.

(vgl. Bild 10.1)
Eingabeobjekte:

1. Urpunkt P

2. Zentrum Z

3. x-Achse

4. Punkt ZE


Bild 10.1

Bild 10.2

 Ausgabeobjekte:

1. Bildpunkt P'

2. Hilfspunkte H1' und H2'

3. Winkelbogen, der zur Berechnung notwendigen Winkel.

Mit Hilfe der Winkelmessung können die beiden Winkel bemaßt werden.

Mit Hilfe der Termwertberechnung kann der Streckungsfaktor k berechnet werden. (vgl. obige k - Berechnung)


Anschließend können nicht mehr benötigte Objekte verborgen werden. (vgl. Bild 11.1)

Bild 11.1

2. Makro 'ZentrStr mit k-Konstrukt'

Der Anwendung des Makros muss das Makro 'k-Konstrukt' vorausgehen.
Bild 11.2 Eingabeobjekte:

1. Urpunkt P

2. Zentrum Z

3. Hilfspunkt H1' und H2' (Parallele zur x-Achse)

Ausgabeobjekt:

Bildpunkt P'

Mit Hilfe dieses Makros können beliebige Punkte abgebildet werden. Durch das Bewegen des Elements ZE kann jeder beliebige Wert für k eingestellt und angezeigt werden.

Alle so konstruierten Bildpunkte sind an das Zugelement ZE gebunden.


Arbeitsblatt zur Erarbeitung der
Zentrischen Streckung
Starte das Programm EUKLID und lade die Datei Zentvers.geo. Die Punkte Z, P Q und R sind frei auf dem EUKLID - Zeichenblatt zu bewegen. Das Dreieck P'R'Q' ist das Bild des Dreiecks PRQ.

Durch Systematisches Probieren sollst Du nun versuchen, die Vorschrift, nach der das Dreieck PRQ auf das P'R'Q' abgebildet wird, herauszufinden.

Wenn ich das Zugelement bewege ... (Ortslinien aufzeichnen!)

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Auffälligkeiten zum Punkt Z ...
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Ergänze die zwei Zeichnungen auf diesem Arbeitsblatt durch gefundene Ortslinien.

Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Wert in der Termwerte - Anzeige und der Lage des Dreiecks P'R'Q'?

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Welche Werte würde wohl die Termwerte - Anzeige für die zwei Bilder auf dem Blatt anzeigen?

Verwende die verschiedenen Messinstrumente von EUKLID, um über Streckenlängen und Winkelmaße Aussagen zu formulieren.


Zusammenfassung der Ergebnisse

a. Erarbeitung der Abbildungsvorschrift

  1. Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden, die durch Z verläuft. Man bezeichnet Z als Streckungszentrum.
  2. Die Lage des Bildpunktes P' ist abhängig vom Streckungsfaktor k (= Wert in der Termwert- Anzeige), nämlich

    wenn k = 1 gilt: P = P'
    wenn k = 0 gilt: Alle Punkte der Ebene werden auf Z abgebildet.
    wenn 0 < k < 1 gilt: P'[PZ]
    wenn k < 1 gilt: P' [ZP
    wenn k < 0 gilt: P'[PZ
    wenn k = - 1 gilt: Punktspiegelung an Z

  4. Aus 1., 2. und 3. kann die Abbildungsvorschrift formuliert werden:





b. Eigenschaften der Zentrischen Streckung

  1. Vermutungen zur Parallelität können hier aufgenommen werden.
  2. Vermutungen über den Zusammenhang der Flächeninhalte von Urfigur und Bildfigur
  3. Fixelemente der Abbildung

  4. Vermutungen über Winkeltreue und Verhältnistreue können ihren Niederschlag finden.
© Andreas Meier, RS Vohenstrauß


© Andreas Meier,
Letzte Änderung: September 1998 		Mathematik Homepage